题目

题型：专项题难度：来源：

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M，G分别是AB，DF的中点。
（1）求证：CM⊥平面FDM；
（2）在线段AD上确定一点P，使得CP∥平面FMC，并给出证明；
（3）求直线DM与平面ABEF所成的角。

答案

解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a。
（1）证明：显然FD⊥平面ABCD，又CM平面ABCD，
∴FD⊥CM
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M为AB中点，DM=CM=，
∴CM⊥DM
∵FD平面FDM，DM平面FDM，
∴CM⊥平面FDM。

（2）点P在A点处
证明：取DC中点S连接AS，GS，GA
∵G是DF的中点，GS∥FC，AS∥CM，
∴面CSA∥面FMC，而GA面CSA，
∴GP∥平面FMC。（3）在平面ADF上，过D作AF的垂线，垂足为H，连DM，则DH⊥平面ABEF，
∠DMH是DM与平面ABEF所成的角
在Rt△DHM中，
∴
∴
所以DM与平面ABEF所成的角为。