题目

题型：四川省高考真题难度：来源：

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°，
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的大小。

答案

（Ⅰ）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABCD，BC⊥AB，
，
所以BC⊥平面ABEF，
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以，即EF⊥BE，
因为，
所以EF⊥平面BCE。
（Ⅱ）证明：取BE的中点N，连结CN，MN，则，
所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN，
因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
所以PM∥平面BCE。
（Ⅲ）解：由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，
易知EA⊥平面ABCD，
作FG⊥AB交BA的延长线于G，则，从而，
作GH⊥BD于H，连接FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH，
因此为二面角F-BD-A的平面角，
因此，
所以，
设AB=1，则，
FG=AF·sin∠FAG=，
在Rt△BGH中∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+，
，
在Rt△FGH中，，
故二面角F-BD-A的大小为。