题目

题型：专项题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。
（1）证明：AE⊥平面PBC；
（2）若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值。

答案

解：（1）证明：如图，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB
又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形，
而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB
由题意知BC⊥AB，
又AB是PB在面ABCD内的射影，
由三垂线定理，得BC⊥PB，
从而BC⊥平面PAB，
故BC⊥AE
因AE⊥PB，AE⊥BC，
所以AE⊥平面PBC。
（2）由（1）知BC⊥平面PAB，
又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，
在Rt△PAB中，，
从而在Rt△DAE中，
在Rt△CBE中，
又，
所以△CED为等边三角形
取CE的中点F，连接DF，则DF⊥CE
因BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形，
连接BF，则BF⊥CE，
所以∠BFD为所求的二面角的平面角
连接BD，在△BFD中，

所以
故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为。