题目

题型：天津模拟题难度：来源：

如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1，
(Ⅰ)求PC与AB所成角的余弦值；
(Ⅱ)求证：BC⊥平面PAC；
(Ⅲ)求二面角E-AC-B的正弦值。

答案

(Ⅰ)∵AB∥DC，
∴∠PCD就是PC与AB所成角，
在直角梯形ABCD中，过C作CS⊥AB于点S，
则四边形ADCS为矩形，
∴AS=DC=1，
又AB=2，∴BS=1，
在Rt△BSC中，∠ABC=45°，
∴CS=BS=1，
∴AD=CS=1，
∵PA⊥平面ABCD，AD，AC平面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥AC，
∴，
，
∴，
∴PC²=PD²+CD²CD⊥PD，，
所以PC与AB所成角的余弦值为； (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知：AC²+BC²=AB²，
∴BC⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC. (Ⅲ)连接EA，EC，则EA=EC=，
连接DS交AC于O，连接EO，ES，SO，
因为O是AC中点，
所以EO⊥AC，SO⊥AC，
所以∠SOE就是二面角E-AC-B的平面角，
故。