题目

题型：湖南省模拟题难度：来源：

如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E，F分别为AC，AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O在线段EC上，得到图2，
（Ⅰ）求证：EF⊥A′C；
（Ⅱ）若二面角A′-EF-B的大小为60°，求三棱锥F-A′BC的体积。

答案

（Ⅰ）证明：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，
∴EF⊥AC，
在四棱锥A′-BCEF中，EF⊥A′E，EF⊥EC，
又EC∩A′E=E，
∴EF⊥平面A′EC，
又A′C平面A′EC，
∴EF⊥A′C；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）证明可知EF⊥A′E，EF⊥EC，
∴二面角A′-EF-B的平面角为∠A′EC，
∴∠A′EC=60°，A′E=2，
∴A′O=A′Esin60°，
在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，
∴，
∴。