题目

题型：陕西省月考题难度：来源：

如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AC⊥BD，AP=AB=2，BC=，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BDE与平面ABP夹角的大小．

答案

解：（Ⅰ）∵在Rt△PAB中，AP=AB=2，
∴ 
又E是PC的中点，∴BE⊥PC，
∵PA⊥平面ABC，又BD平面ABC ∴PA⊥BD，
∵AC⊥BD，又AP∩AC=A ∴BD⊥平面PAC，又PC平面PAC，
∴BD⊥PC，又BE∩BD=B，∴PC⊥平面BDE
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，
∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB，
又由（Ⅰ）知PC⊥平面BDE，
∴直线PC与BC的夹角即为平面BDE与平面BAP的夹角，
在△PBC中，PB=BC，∠PBC=90°，∠PCB=45°
所以平面BDE与平面BAP的夹角为45°