题目

题型：期末题难度：来源：

如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积；
（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

答案

解：（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA
∴BC⊥平面ABE，
∵AE平面ABE，
∴AE⊥BC，
又∵BF⊥平面ACE，AE平面ACE，
∴AE⊥BF
∵BC∩BF=B，
∴AE⊥面BEC，
又∵BE平面BEC，
∴AE⊥BE ∵AD⊥BE，AE∩AD=A，
∴BE⊥面DAE，
∵DE面DAE，
∴DE⊥BE
（2）作EH⊥AB于H，
∵DA⊥平面ABE，DA面ABCD，
∴面ABCD⊥面ABE，
∵EH⊥AB，面ABCD∩面ABE=AB，
∴EH⊥面ABCD
∵AE⊥BE，AE=EB=BC=2，
∴等腰Rt△AEB中， 
因此， 
（3）设P是BE的中点，连接MP，FP
∵BE=BC，BF⊥CE，
∴F是EC的中点
∵△ECB中，FP是中位线，
∴FP∥BC∥DA
∵DA平面DAE，FP平面DAE
∴FP∥平面DAE，同理可得MP∥平面DAE，
∵AE∩DA=A，
∴平面MPF∥面DAE，
因此，直线MF∥面DAE，
可得点N就是点F 所以CE的中点N满足MN∥平面DAE．