题目

题型：高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积。

答案

解：（Ⅰ）因为
又是平面PAC内的两条相较直线，
所以BD平面PAC，
而平面PAC，
所以。
（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，
所以是直线PD和平面PAC所成的角，
从而
由BD平面PAC，平面PAC，知
在中，由，
得PD=2OD
因为四边形ABCD为等腰梯形，，
所以均为等腰直角三角形，
从而梯形ABCD的高为
于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中，
所以
故四棱锥的体积为。