题目

题型：高考真题难度：来源：

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A A₁，∠CAB=
（1）证明：CB₁⊥BA₁；
（2）已知AB=2，BC=，求三棱锥C₁-ABA₁的体积。

答案

解：（1）连接AB₁，
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
又∵平面ABC∩平面ABB₁A₁=AB，AC⊥AB，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∵BA₁?平面ABB₁A₁，
∴AC⊥BA₁，
∵矩形ABB₁A₁中，AB=AA₁，
∴四边形ABB₁A₁是正方形，
∴AB₁⊥BA₁，
又∵AB₁、CA是平面ACB₁内的相交直线，
∴BA₁⊥平面ACB₁，
∵CB₁?平面ACB₁，
∴CB₁⊥BA₁；  
（2）∵AB=2，BC= ，
∴Rt△ABC中，AC= =1
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=AC=1
又∵AC∥A₁C₁，AC⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁是三棱锥C₁-ABA₁的高
∵△ABA₁的面积等于正方形ABB₁A₁面积的一半
∴= AB²=2
三棱锥C₁-ABA₁的体积为V=× ×A₁C₁= 。