题目

题型：期末题难度：来源：

如图，在等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=4，AD=BC=，E、F分别为CD、AB中点，沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，点G为FB的中点．
（1）求证：AG⊥平面BCEF
（2）求DG的长度．

答案

解：（1）∵AF=BF且∠AFB=60°，
∴△ABF是等边三角形
又∵G是FB的中点，
∴AG⊥BF
∵翻折前的等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，
∴EF⊥AB，可得翻折后EF⊥AF，EF⊥BF
∵AF、BF是平面ABF内的相交直线，
∴EF⊥平面ABF
∵AG平面ABF，
∴AG⊥EF，
∵BF、EF是平面BCEF内的相交直线，
∴AG⊥平面BCEF
（2）取EC中点M，连接MC、MD、MG
∵AF∥DE，AF平面ABF，DE平面ABF，
∴DE∥平面ABF，
同理可得：CE∥平面ABF，
∵DE、CE是平面DCE内的相交直线，
∴平面DCE∥平面ABF，可得AG∥DM
∵AG⊥平面BCEF，∴DM⊥平面BCEF，
∵MG平面BCEF，∴DM⊥MG，
∵梯形BFEC中，EC=FG=BG=1，BF∥EC，
∴四边形EFGC是平行四边形，可得EF∥CG
∵EF⊥平面ABF，
∴CG⊥平面ABF，可得CG⊥BG
Rt△BCG中，BG=1，BC=，可得CG==1
∴Rt△GCM中，GM==
又∵DM=CE=，
∴Rt△GDM中，DG==