题目

题型：月考题难度：来源：

如图①边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求三棱锥P﹣DEF的体积；
（3）求DE与平面PDF所成角的正弦值．

答案

（1）证明：依题意知图①折前AD⊥AE，CD⊥CF，
∴PD⊥PE，PF⊥PD，
∵PE∩PF=P，
∴PD⊥平面PEF
又∵EF平面PEF，
∴PD⊥EF
（2）依题意知图①中AE=CF=，
∴PE=PF=，
在△BEF中，
在△PEF中，PE²+PF²=EF²，
∴PE⊥PF
∴
∴=．
（3）解：由（2）知PE⊥PF，
又PE⊥PD，
∴PE⊥平面PDF
∴∠PDE为DE与平面PDF所成的角，
在Rt△PDE中，
∵，
∴