题目

题型：不详难度：来源：

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．

答案

（Ⅰ）证明：∵AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=3BC²，
∴AC²+BC²=4BC²=AB²，∴∠ACB=90°．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，FB∩BC=B，
∴AC⊥平面FBC．


（Ⅱ）
线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．
证明如下：
因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．
因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．
所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C-xyz．
在等腰梯形ABCD中，可得 CB=CD．
设BC=1，所以C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)．
所以

CE

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CA

=(

3

，0，0)，

CB

=(0，1，0)．
设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • CE =0 n • CA =0

，
所以

3 2 x- 1 2 y+z=0 3 x=0

取z=1，得

n

=（0，2，1）．
假设线段ED上存在点Q，设Q(

3

2

，-

1

2

，t)(0≤t≤1)，所以

CQ

=(

3

2

，-

1

2

，t)．
设平面QBC的法向量为

m

=（a，b，c），则

m • CB =0 m • CQ =0

所以

b=0 3 2 a- 1 2 b+tc=0

取c=1，得

m

=(-

2t

3

，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需

m

•

n

=0，
即 -

2

3

t×0+0×2+1×1=0，此方程无解．
所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．