（理）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=219，AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

（理）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=2

，AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．
（1）求EF的长；
（2）证明：EF⊥PC．

答案

（1）以A为原点，

，

分别为x，y，z轴建立直角坐标系，
由条件知：AF=2，
∴F（0，2，0），P（0，0，2

），C（8，6，0），从而E（4，3，

），
∴EF=

(4-0)2+(3-2)2+(

-0)2

=6．
（2）证明：

=（-4，-1，-

），

=（8，6，-2

），
∵

•

=-4×8+（-1）×6+（-

）×（-2

）=0，
∴EF⊥PC．

核心考点

试题【（理）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=219，AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系】；主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]

举一反三

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AD，DD₁的中点，AB=BC=2，A₁A=2

（Ⅰ）求证：EF∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）在线段BC₁是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

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如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）设AB=2，若H为线段PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为

，求此时异面直线AE和CH所成的角．

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已知一个四棱锥P-ABCD的三视图（正视图与侧视图为直角三角形，俯视图是带有一条对角形的正方形）如下，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置都有BD⊥AE，证明你的结论．

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如图，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

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如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=4，M为CE的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF：
（Ⅱ）求证：BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）求三棱锥C-MBD的体积．

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