题目

题型：山西省模拟题难度：来源：

图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B₁C₁上的动点，且EF∥CC₁，CD=DD₁=1，AB=2，BC=3。
（1）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD₁D都为矩形；
（2）当EC=1时，求几何体A-EFD₁D的体积。

答案

解：（1）在直四棱柱中，
∵
∴
又∵平面平面
平面
平面平面
∴
∴四边形为平行四边形
∵侧棱底面，又平面内
∴
∴四边形为矩形；
（2）连结AE
∵四棱柱为直四棱柱
∴侧棱底面
又平面内
∴
在中，，，则
在中，，，则
在直角梯形，
∴
即
又∵
∴平面
由（1）可知，四边形为矩形，且，
∴矩形的面积为
∴几何体的体积为。