题目

题型：0127 模拟题难度：来源：

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是A₁B₁、CC₁的中点，过D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G，
（Ⅰ）求证：EG∥D₁F；
（Ⅱ）求二面角C₁-D₁E-F的余弦值；
（Ⅲ）求正方体被平面D₁EGF所截得的几何体ABGEA₁-DCFD₁的体积。

答案

（Ⅰ）证明：在正方体中，
∵平面∥平面，平面∩平面=EG，
平面∩平面=，
∴EG∥。

（Ⅱ）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD₁为 x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，则有D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴，，
设平面的法向量为，
则由和，得，
取x=1，得y=-2，z=-4，
∴，
又平面ABCD的法向量为（0，0，2），
故
；
∴截面与底面ABCD所成二面角的余弦值为；

（Ⅲ）解：设所求几何体的体积为V，
∵∽，，
∴，，
∴，
，
故V_棱台，
∴V=V_正方体-V_棱台。