如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC⊥SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：北京难度：来源：

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

．
（1）求证BC⊥SC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．魔方格

答案

（1）证明：如图1
∵底面ABCD是正方形；
∴BC⊥DC；
∵SD⊥底面ABCD；
∴DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得BC⊥SC

（2）∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可以把四棱锥S-ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S-ABCD，如图2

魔方格

面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC∥A₁S
∴SC⊥A₁S
又SD⊥A₁S，
∴∠CSD为所求二面角的平面角
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=

在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1，
∴∠CSD=45°即面ASD与面BSC所成的二面角为45°

核心考点

试题【如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC⊥SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．】；主要考察你对面面平行等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值．魔方格

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在空间四边形ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（　　）

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最新试题

热门考点

A．平面ABD⊥平面BDC

B．平面ABC⊥平面ABD

C．平面ABC⊥平面ADC

D．平面ABC⊥平面BED

已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确的命题是（　　）

A．.①③

B．②④

C．③④

D．①

互不重合的三个平面最多可以把空间分成（　　）个部分．

A．4

B．5

C．7

D．8

已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4