题目

题型：0112 月考题难度：来源：

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上。
（1）求证：DE//平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积。

答案

解：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，
∵平面ACD⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，作EF平面ABC，
那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，
∴易求得，
所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF，
平面ABC，平面ABC，
∴DE∥平面ABC。
（2）作FG⊥BC，垂足为G，连接FG，
∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，
∴FG=BF·sin∠FBG=，，
∴，
∴，
即二面角E-BC-A的余弦值为。（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC，
 ∴OB⊥平面ACD，
又，
∴DE⊥平面DAC，
∴三棱锥E-DAC的体积，
又三棱锥E-ABC的体积，
∴多面体DE-ABC的体积为V=V₁-V₂=。