题目

题型：同步题难度：来源：

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．
（1）求证：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D。

答案

（1）证明：由直四棱柱，得BB₁∥DD₁，且BB₁=DD₁，
所以，BB₁D₁D是平行四边形，
所以，B₁D₁∥BD，
而BD平面A₁BD，B₁D₁平面A₁BD，
所以B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）证明：因为BB₁⊥面ABCD，AC面ABCD，
所以BB₁⊥AC，
又因为BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，
所以，AC⊥面BB₁D，
而MD面BB₁D，
所以MD⊥AC． （3）解：当点M为棱BB₁的中点时，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D，
取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，
连结NN₁交DC₁于O，连结OM，
因为N是DC中点，BD=BC，
所以，BN⊥DC；
又因为DC是面ABCD与 面DCC₁D₁的交线，
而面ABCD⊥面DCC₁D₁，
所以，BN⊥面DCC₁D₁，
又可证得，O是NN₁的中点，
所以，BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，
所以，BN∥OM，
所以，OM⊥平面CC₁D₁D，
因为OM面DMC₁，
所以，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．