题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E(图甲)，沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC(图乙)。
(Ⅰ)若F是AB的中点，求证：CF∥平面ADE；
(Ⅱ)P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE；
(Ⅲ)P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P-BE-C的大小．

答案

(Ⅰ)证明：取BD的中点为M，连接FM，CM，
∵F为AB的中点，则MF∥AD，
由题知△BCD为等边三角形，
∴CM⊥BD，
又DE⊥BD，
∴CM∥DE，
∴面CFM∥面ADE，CF面CMF，
∴CF∥面ADE。
(Ⅱ)证明：由平面几何知识：BE⊥CD，AD⊥DE，平面ADE⊥平面BDEC， 
∴AD⊥平面BDEC，
∴AD⊥BE，
∴BE⊥面ACD，BE面PBE，
∴平面ACD⊥平面PBE。
(Ⅲ)解法一：由(Ⅱ)BE⊥面ACD，设BE∩CD=Q，
由题知BE⊥CD，BE⊥PQ，
∴PQC为二面角P-BE-C的平面角， AD=CD，
∴∠ACD=45°，
∴△ACD∽△CPQ，∠PQC=45°，
∴二面角P-BE-C的大小为45°。
解法二：建立空间直角坐标系{DE，DB，DA}，
，则，
，
∵AC⊥面PBE，AD⊥面BCED，
设二面角P-BE-C的大小为θ，
则，
∴二面角P-BE-C的大小为45°。