题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
(Ⅰ)求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
(Ⅱ)求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
(Ⅲ)求二面角D-A₁C₁-A的余弦值。

答案

(Ⅰ)证明：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥CC₁，
又CC₁面ABB1A1，所以CC₁∥平面ABB₁A₁，
ABCD是正方形，所以CD∥AB，
又CD面ABB₁A₁，所以CD∥平面ABB₁A₁，
所以平面CDD₁C₁∥平面ABB₁A₁，
所以，C₁D∥半面ABB₁A₁。 (Ⅱ)解：ABCD是正方形，AD⊥CD，
因为A₁D⊥平面ABCD，所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
在△ADA₁中，由已知可得A₁D=，
所以，D(0，0，0)， A₁(0，0，)，A(1，0，0)，C₁（-1，1，），
B₁(0，1，)，D(-1，0，)，B(1，1，0)，，
因为A₁D⊥平面ABCD，
所以，A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁D⊥B₁D₁，
又B₁D₁⊥A₁C₁，
所以，B₁D₁⊥平面A₁C₁D，
所以平面A₁C₁D的一个法向量为n=(1，1，0)，
设与n所成的角为β，
则，
所以直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值为。
(Ⅲ)解：设平面A₁C₁A的法向量为m=（a，b，c），
则，
所以，，
令，可得，
设二面角D-A₁C₁-A的大小为α，
则，
所以，二面角D-A₁C₁-A的余弦值为。