题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示，
(Ⅰ)求证：AN∥平面MBD；
(Ⅱ)求异面直线AN与PD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求二面角M-BD-C的余弦值。

答案

(Ⅰ)证明：连接AC交BD于O，连接OM，
∵底面ABCD为矩形，
∴O为AC中点， 
∵M，N为侧棱PC的三等分点，
∴CN= MN，∴OM∥AN， 
∵OM平面MBD，AN平面MBD，
∴AN∥平面MBD。

(Ⅱ)解：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)，
P(0，0，3)，M(2，4，1)，N(1，2，2)，
，
∴，
∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为。
(Ⅲ)解：∵侧棱PA ⊥底面ABCD，
∴平面BCD的一个法向量为=(0，0，3)，
设平面MBD的一个法向量为m=(x，y，z)，
 ，并且，
∴，
令y=1，得x=2，x= -2，
∴平面MBD 的一个法刚量为m=(2，1，-2)，
∴，
由图可知二面角M- BD-C的大小是锐角，
二面角M-BD-C大小的余弦值为。