题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面 ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，M为PC上一点，且PA∥平面BDM．
(Ⅰ)求证：M为PC的中点；
(Ⅱ)求证：面ADM⊥面PBC。

答案

证明：(Ⅰ)连接AC，AC与BD交于G，则面PAC∩面BDM=MC，
由PA∥平面BDM，可得PA∥MC，
∵底面ABCD为菱形，
∴G为AC的中点，
∴MC为△PAC的中位线，因此M为PC的中点． 

 (Ⅱ)取AD中点O，连接PO，BO，
∵△PAD是正三角形，
∴PO⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以，PO⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是菱形且∠BAD= 60°，△ABD是正三角形，
∴AD⊥OB，
∴OA，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系，
则，
∴，
∴，
，
∴，
∴DM⊥BP，DM⊥CB，
∴DM⊥平面PBC，
又DM平面ADM，
∴面ADM⊥面PBC。