题目

题型：不详难度：来源：

如图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA₁的中点．现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几?

答案

锯掉的这块的体积是原正方体体积的.

解析

因为锯掉的是立方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.
设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a³.
三棱锥的底面是直角三角形AGF，而∠FAG为90°，G、F又分别为AD、AA₁的中点，所以AF=AG=.这样△AGF的面积为.AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以AH=.而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为.
又,
所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.