题目

题型：不详难度：来源：

如图,已知平行四边形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四边形ADEF为正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.记CD=x,V(x)表示四棱锥F-ABCD的体积.

(1)求V(x)的表达式.
(2)求V(x)的最大值.

答案

(1) V(x)= x(0<x<2)   (2)

解析

【思路点拨】利用体积公式得到V(x)的表达式,然后根据基本不等式或函数的知识求最大值.
解：(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.
∵BD⊥CD,BC=2,CD=x,
∴FA=2,BD=(0<x<2),
∴S_▱ABCD=CD·BD=x,
∴V(x)=S_▱ABCD·FA=x(0<x<2).
(2)方法一:要使V(x)取得最大值,只需x=(0<x<2)取得最大值,
∵x²(4-x²)≤()²=4,
∴V(x)≤×2=.
当且仅当x²=4-x²,即x=时等号成立.
故V(x)的最大值为.
方法二:V(x)=x=
=.
∵0<x<2,∴0<x²<4,∴当x²=2,即x=时,V(x)取得最大值,且V(x)_max=.