如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　　　　. - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　　　　.

答案

32π

解析

法一　设球的半径与圆柱的高所成的角为α,
则圆柱底面半径为4sinα,高为8cosα,
∴S_圆柱侧=2π·4sinα·8cosα=32πsin2α.
当sin2α=1时,S_圆柱侧最大为32π.
此时S_球表-S_圆柱侧=4π·4²-32π=32π.
法二　设圆柱底面半径为r,则其高为2

,
∴S_圆柱侧=2πr·2

=4π

≤
4π

=2πR²
（

“=”）.
又R=4,∴S_圆柱侧最大为32π.
此时S_球表-S_圆柱侧=4π·4²-32π=32π.

核心考点

试题【如图所示,半径为4的球O中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　　　　.】；主要考察你对柱锥台的表面积等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).

(1)求证:EF⊥A′C;
(2)求三棱锥F

A′BC的体积.

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如图所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,过点D作DE⊥AC于E,交直线AB于F.现将△ACD沿对角线AC折起到△PAC的位置,使二面角P

B的大小为60°.过P作PH⊥EF于H.

(1)求证:PH⊥平面ABC;
(2)若a+b=2,求四面体P

ABC体积的最大值.

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已知一个圆柱内接于球O中,其底面直径和母线都是2,则球O的体积是　　　　.

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已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥外接球表面积等于(　　)

A．8π

B．16π

C．48

D．50π

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如图所示,三棱柱ABC

A₁B₁C₁中,AA₁⊥平面ABC,D、E分别为A₁B₁、AA₁的中点,点F在棱AB上,且AF=

AB.

(1)求证:EF∥平面BC₁D;
(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15,若存在,指出点G的位置;若不存在,说明理由.

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