题目

题型：不详难度：来源：

如图(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).

(1)求证:EF⊥A′C;
(2)求三棱锥FA′BC的体积.

答案

(1)见解析   (2)

解析

(1)证明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位线,
∴EF⊥AC,
在四棱锥A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,
又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,
又A′C⊂平面A′EC,
∴EF⊥A′C.
(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,
∴S_△FBC=BC·EC=4,
∵A′O⊥平面BCEF,
∴A′O⊥EC,
又∵O为EC的中点,
∴△A′EC为正三角形,边长为2,
∴A′O=,
∴==S_△FBC·A′O=×4×=.