题目
题型:不详难度:来源:
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3 |
(Ⅰ)求证:PB⊥平面PAD;
(Ⅱ)求多面体SPABC的体积..
答案
分别作出两个正三棱锥的高PN、SM,连接AC交BD于O,连接OP、OS
∵△ADB与△BCD都是正三角形
∴四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°,可得AC、DB互相垂直平分
∵△PBD中,PB=PD,O为BD中点
∴PO⊥BD,
同理,SO⊥BD,可得∠POS为二面角P-BD-S的平面角
∵ON=
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1 |
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∵四边形ABCD是菱形且∠BCD=60°,
∴AC=
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3 |
∵正三棱锥P-ABD、S-BCD是两个全等的三棱锥
∴两条高PN、SM平行且相等
可得四边形PSMN是矩形,所以PS=MN=2
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∵两个正三棱锥的侧棱长都相等
∴等腰三角形OPS中,根据余弦定理得:cos∠POS=
OP2+OS2-PS2 |
2•OP•OS |
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可得OP=OS=3
∵Rt△POB中,OB=
1 |
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∴PB=
OB2+OP2 |
2 |
在△PDB中,PB2+PD2=36=BD2
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得:BP⊥PA,结合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
(Ⅱ)由(I)得PA=PB=3
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∴Rt△PAN中,高PN=
PA 2-AN2 |
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因此,正三棱锥P-ABD的体积V=
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∴多面体SPABC的体积为V1=2×18
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核心考点
试题【如图,已知放在同一平面上的两个正三棱锥P-ABD、S-BCD(底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心)的侧棱长都相等.若AB=6,二面角P-BD】;主要考察你对空间几何体的表面积与体积等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.3 | B.8 | C.9 | D.3或8或9 |
2 |
3 |
A.52π | B.34π | C.45π | D.37π |
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