题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，,为DB的中点，
（Ⅰ）证明：AE⊥BC；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点F使得PF与面DBC所成的角为，若存在，试确定点F的位置，若不存在，说明理由.

答案

（Ⅰ）证明见解析
（Ⅱ）F为BC的中点

解析

证明：（I）取BC的中点O，连接EO,AO,
EO//DC所以EO⊥BC ………………………………………………………………….…1分
因为为等边三角形，所以BC⊥AO ……………………………………………3分
所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE  …………………………………………………………4分
（II）方法一：连接PE，因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC
所以DC⊥面ABC，而EODC
所以EOPA，故四边形APEO为矩形 …………………………………………7分
易证PE⊥面BCD,连接EF,则PFE为PF与面DBC所成的角，即PFE=…9分
在Rt△ PEF中，因为PE =AO=BC,故EF=BC,
因为BC=DC,所以EF=DC,又E为BD的中点，
所以F为BC的中点……………………………………………………………………..12分
方法二：以BC的中点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，
OE所在的直线为z轴建立空间坐标系，不妨设BC=2，则,设，
则，………………………………………………………………………7分
而平面BCD的一个法向量，则由
，………………………………………………………………………..9分
解得y＝0，故F为BC的中点。……………………………………………………..12