题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分） 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，2AB=2BC=CC₁=2，D是棱CC₁的中点 （1）求证B₁D⊥平面ABD；
 （2）平面AB₁D与侧面BB₁C₁C所成锐角的大小        C₁               B₁

答案

 (Ⅰ)略   (Ⅱ)  

解析

方法一：（1）在中，

，， 
∴，同理  
在中，∵ ∴
即又∵在直三棱柱中，
∴平面， 而平面，∴
 ∴平面； 6分
（2）由（1）知，，平面平面
∴就是平面与侧面所成角的平面角
在中，，，
∴，∴.
即平面与侧面所成锐角的大小为. …12分
方法二：
如图所示建立空间直角坐标系则，于是

（1）∵，
∴，，即，，又 ∴平面；…6分
（2）设平面的法向量为，则由得
令得 ∴，易知平面的法向量为，
设平面与平面所成角的大小为，则.
即平面与侧面所成锐角的大小为.               …12分