题目
题型:不详难度:来源:
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2, 侧棱长是, D为AC的中点.
(1)求证: B1C∥平面A1BD
(2)求二面角A1-BD-A的大小.
(3)求直线AB1与平面A1BD所成角的大小.
答案
解析
∴OD∥B1C, ODÌ平面A1BD, B1CÌ平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD
(2) ∵D是AC的中点, △ABC为正三角形, ∴BD⊥AC, 三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴ A1A⊥BD, ∴BD⊥平面A1AD, ∴BD⊥A1D, BD⊥AD, ∴∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角, A1A=, AD="1," tan∠A1DA= = , ∴∠A1DA=" 60°." ∴二面角A1-BD-A的平面角为60°.
(3)∵ BD⊥平面A1AD, BDÌ平面A1BD, ∴平面A1AD⊥平面A1BD, 过A作AH⊥A1D于H点,∴AH⊥平面A1BD, ∴∠AOH为直线AB1与平面A1BD所成角, 在Rt△A1AD中AH== = , AO= sin∠AOH= = = , ∠AOH=arcsin.
法2: (空间向量法)建坐标系如图, 则
A(1,0,0), D(0,0,0), B(0,, 0), A1(1, 0, ) B1(0, , ) , C(-1,0,0)
(1) ="(1," 0, ), =(0,, 0), ="(1," , ) , ∴ =+ , ∴、、共面, 又∵CB1Ì平面A1BD, ∴B1C∥平面A1BD
(2) 平面ABD的法向量设为="(0,0,1)," 平面A1BD的法向量为=(x,y,z),
∵ ,
∴ , y="0," 令z="1," 则x=-, ∴=(-,0,1) ,
=
∴ 二面角A1-BD-A的大小的60°.
(3) 直线AB1与平面A1BD所成角θ, 则=(-1, , ),平面A1BD的法向量为=(-,0,1) , sinθ= == , ∴ θ=arcsin.
核心考点
试题【 (本题12分)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2, 侧棱长是, D为AC的中点.(1)求证: B1C∥平面A1BD(2)求二面角A1-BD-A的】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.若则 B.若则
C.若则 D.若、与所成的角相等,则
如图,P—ABCD是正四棱锥,是正方体,其中
(1)求证:;
(2)求PA与平面所成角的余弦值;
中,棱长.
(1)为棱的中点,求证:;
(2)求二面角的大小;
(3)求点到平面的距离.
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