题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）在边长为3的正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足，将沿EF折起到的位置，使二面角成直二面角，连结，（如图）（I）求证：  (Ⅱ)求点B到面的距离(Ⅲ)求异面直线BP与所成角的余弦

答案

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析

（I）在图1中，取BE的中点D，连DF
∵，∵∴为正三角形
又∵AE="ED=1     " ∴ ∴在图2中有，
∴为二面角的平面角
∵二面角为直二面角    ∴
又∵    ∴即 …………5分
(Ⅱ)∵BE//PF ∴BE//面∵B到面的距离即为E到面的距离，
∵，又BE//PF，∴
∴       ∵E到面的距离即为中E到的距离
d=A₁E×           ∴点B到面的距离为………………10分
(Ⅲ)∵DF//BP ∴即为所求角
中 ,
∴异面直线BP与所成角的余弦值为                  ………………14分
法二:(建立空间直角坐标系,略解)