题目

题型：不详难度：来源：

 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2， ∠ACB=90°，D、E分别为AC、AA₁的中点.点F为棱AB上的点.
(Ⅰ)当点F为AB的中点时.
(1)求证：EF⊥AC₁；
(2)求点B₁到平面DEF的距离.
(Ⅱ)若二面角A-DF-E的大小为的值.

答案

(1)证明见解析，(2) C₁O= ，(3)

解析

(1)(1)DF∥BC,BC⊥AC,∴DF⊥AC
∵平面ACC₁A₁⊥平面ABC，∴DF⊥平面ACC₁A₁
∴DF⊥AC₁
∵ACC₁A₁是正方形 ∴AC₁⊥DE
∴AC₁⊥面DEF∴AC₁⊥EF，即EF⊥AC₁
(2)∵B₁C₁∥BC，BC∥DF，∴B₁C₁……∥平面DEF
点在B₁到平面DEF的距离等于点C₁到平面DEF的距离
∴DF⊥平面ACC₁A₁∴平面DEF⊥平面ACC₁A₁
∵AC₁⊥DE∴AC₁⊥平面DEF
设AC₁∩DE=O，则C₁O就是点C₁到平面DEF的距离
由题设计算，得C₁O= 
(3)当点F为AB的中点即=1时，DF∥BC,∴DF⊥AC,∵AA1⊥面ABC，∴ED⊥DF，∠EDA即为二面角A-DF-E的平面角，由AE=AD，因此∠EDA=