题目
题型:不详难度:来源:
AC=BC=PC=2.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面PCD;
(Ⅱ)求异面直线PD与BC所成角的大小;
(Ⅲ)设M为线段PA上的点,且AP=4AM,求点A到平面BCM的距离.
答案
(Ⅱ) arccos
(Ⅲ)
解析
(Ⅰ)因为PC⊥平面ABC,AB平面ABC,所以PC⊥AB.………………………2分
△ABC中,AC=BC,且D为AB中点,所以CD⊥AB.
又PC∩CD=C,所以AB⊥平面PCD.…………………………………………4分
(Ⅱ)如图,取AC中点E,连结DE、PE,则DE∥BC,
所以∠PDE(或其补角)为异面直线PD与BC所成的角.…………………5分
因为BC∥DE,AC⊥BC,所以AC⊥DE;
又PC⊥平面ABC,DE平面ABC,所以PC⊥DE,
因为AC∩PC=C,所以DE⊥平面PAC,
因为PEC平面PAC,所以DE⊥PE.………6分
在Rt△ABC中,因为AC=BC=2,所以AB=2
在Rt△PCD中,因为PC=2,CD=AB=,
所以PD=.
在Rt△PDE中,因为DE=BC=1.所以cos∠PDE=
即异面直线PD与BC所成的角为arccos.……………………………8分
(Ⅲ)因为BC⊥AC,BC⊥PC,所以BC⊥平面PAC,所以平面PCM⊥平面BCM.
过点A作AN⊥CM交CM于N,则AN⊥平面BCM.…………………10分
在Rt△PAC中,AC=PC=2,所以AP=2,又AP=4AM,所以AM=
△ACM中,∠MAC=45°,所以CM==
过M作MG⊥AC交AC于G,MG=AMsin45°=,
由MG·AC=AN·CM,得AN=.
所以点A到平面BCM的距离为.…………………………………12分
核心考点
试题【如图,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,D为AB中点,AC=BC=PC=2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面PCD;(Ⅱ)求异面直线PD与BC所成角的大小;(Ⅲ)设M为】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求二面角M-AC-B大小的正切值;
(Ⅱ)求三棱锥P-MAC的体积.
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA=a,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC。
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小。
(Ⅰ)证明:A1O⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角D—A1A—C的平面角的正切值.
(1)求证:AC⊥PD;
(2)求二面角E—AC—B的正切值;
(1)求证:无论点在上如何移动,都有;
(2)若//平面,求二面角的余弦值.
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