题目

题型：不详难度：来源：

(本小题满分13分)如图，已知平行四边形和矩形所在的平面互相垂直，，是线段的中点.

（1）求证：；（2）求二面角的大小；
（3）设点为一动点，若点从出发，沿棱按照
的路线运动到点，求这一过程中形成的三棱锥的体积的最小值.

答案

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析

法一：（1）易求，从而，由三垂线定理知：.
（2）法一：易求由勾股定理知，
设点在面内的射影为，过作于，连结，
则为二面角的平面角.
在中由面积法易求，由体积法求得点到面的距离是，
所以，所以求二面角的大小为.
法二：易求由勾股定理知，过作于，又过作交于，连结.则易证为二面角的平面角
.在中由面积法易求，从而于是，
所以，在中由余弦定理求得.再在中由余弦定理求得.最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小为.………… 8分
（3）设AC与BD交于O，则OF//CM，所以CM//平面FBD，当P点在M或C时，三棱锥P—BFD的体积的最小.. ……………… 13分
解法二：空间向量解法，略.