题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知。
（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角的大小。

答案

（1）证明见解析。
（2）

解析

（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，
则∥平面，所以∥。
又是的中点，所以⊥，则⊥。
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，连。因为⊥平面，

根据三垂线定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，则∥，则是的中点，则。
设，由得，，解得，
在中，，则，。
所以，故二面角为。
解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则


所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：平面
（2）由已知设
则
由与共线得:存在有得
 
同理:

设是平面的一个法向量,
则令得 
又是平面的一个法量

所以二面角的大小为