题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

答案

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）
（Ⅲ），理由见解析。

解析

解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD。
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC。
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角。
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1，
所以OB＝，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝。
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为。
　　　设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，
　　　在Rt△POC中，
所以PC=CD=DP,
由V_p-DQC=V_Q-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时。
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0)，
P(0,0,1)，

所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).
则所以即，
取x₀=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设由，得解y=-或y=(舍去)，
此时，所以存在点Q满足题意，此时.