题目
题型:不详难度:来源:
(I)证明:平面⊥平面;
(II)求二面角的余弦值.
答案
解析
(I)证明 ∵A1A⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴A1A⊥BC.
在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.
∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,
∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,
即AD⊥BC.
又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.
∵BC平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. --------7分
(II)解 如图①,作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC1A1,
∴AE是BE在平面ACC1A1内的射影.
由三垂线定理知BE⊥CC1,
∴∠AEB为二面角A—CC1—B的平面角. 图①
过C1作C1F⊥AC交AC于F点,
则CF=AC-AF=1,
C1F=A1A=,∴∠C1CF=60°.
在Rt△AEC中,
AE=ACsin60°=2×=,
在Rt△BAE中,tan∠AEB===,
∴cos∠AEB=,
即二面角A—CC1—B余弦值为 -------12分
方法二 (I) 证明 如图②,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),
A1(0,0,),C1(0,1, ).
∵BD∶DC=1∶2,∴=,
∴D点坐标为,
∴=, =(-,2,0),=(0,0,).
∵·=0,·=0,
∴BC⊥AA1,BC⊥AD.又A1A∩AD=A,
∴BC⊥平面A1AD.又BC平面BCC1B1,
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
(II)解 ∵BA⊥平面ACC1A1,取m==(,0,0)为平面ACC1A1的法向量.
设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),
则·n=0,·n=0,
∴
∴x=y,z=,可取y=1,则n=,
cos〈m,n〉=
=,
即二面角A—CC1—B的余弦值为.
核心考点
试题【(本小题满分12分) 一几何体的三视图如图所示,,A1A=,AB=,AC=2,A1C1=1,在线段上且=.(I)证明:平面⊥平面;(II)求二面角的余弦值.】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
是的中点,是的中点。
(Ⅰ)求异面直线与所成的角;(Ⅱ)求二面角的大小。
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥BD;
③AC1⊥平面CB1D1
其中正确结论的个数是 ( )
A.0 | B.1 | C.2 | D.3 |
小题1:判断直线AD与BC是否共面,并证明你的结论;
小题2:当直线AC与平面EFCD所成角为多少时,二面角A—DC—E的大小是60°。
(1)求证
(2)求二面角的大小
(3)求P到平面的距离
如图,在三棱柱中,每个侧面均为正方形,为底边的中点,为侧棱的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
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