题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

答案

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线与平面所成角的正弦值为

解析

证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.

因为为的中点，为的中点,
所以∥且.又是中点，
所以 ∥且,
所以 ∥且.
所以，四边形为平行四边形.所以∥.
又平面,平面,则∥平面.  ………………5分
(Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.
所以平面.
因为平面，所以.
由已知得，所以,
所以平面.
由（Ⅰ）可知∥，所以平面.
所以.
因为侧面是正方形，所以.
又，平面，平面,
所以平面.               ………………………………………10分
（Ⅲ）解: 取中点，连接. 
在三棱柱中，因为平面，    
所以侧面底面.
因为底面是正三角形，且是中点，
所以，所以侧面.
所以是在平面上的射影.
所以是与平面所成角.
.           …………………………………………14分
解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.
设边长为2，可求得，,
，，，，
，，.
（Ⅰ）易得，，
. 所以，所以∥.
又平面,平面,则∥平面. ………………5分
（Ⅱ）易得，，，
所以.
所以
又因为，，
所以平面.           …………………………………………… 10分
（Ⅲ）设侧面的法向量为,
因为, ,，，
所以，.
由 得解得
不妨令，设直线与平面所成角为．
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………14分