题目

题型：不详难度：来源：

（1）证明：；
（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求锐二面角的余弦值；
（3）在（2）的条件下，设，求点到平面的距离。

答案

略

解析

（1）证明：由四边形为菱形，，知为正三角形
∵为的中点∴，又∴…………………………1分
∵平面，平面∴
而平面，平面,且,
∴平面，又平面，∴…………………………3分
（2）设，连结         
由（1）知平面,而,∴，
则为与平面所成的角。………………………………………………4分
在中，，当最小时，即当时，最大，此时
因此，
又 ∴∴…………………………………………………5分
方法一：平面，平面， ∴平面平面
过作于，则平面，过作于，连结，则为二面角的平面角。…………………………………………………… 6分
在中，
又为的中点，∴在中，,
又
在中，         
即所求二面角的余弦值为……………………………………………………………7分
方法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：
∴………………………………………………………7分
设平面的一个法向量为，
则，因此
取，则……………………………………………………………8分
∵，平面
故为平面的法向量。……………………………………………………6分
∴         
二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为…………………………………………7分
（3）方法一：由（2）得：在中，，∴
在中，，∴中，，
又,∴………………………………………………………………8分
又，点到平面的距离，…………………9分
设点到平面的距离为，
∵，∴，
∴………………………………………………………………10分
方法二：由（2）解法2知，平面的一个法向量为……………………8分
又∵         
∴点到平面的距离为…………………………………10分
其余方法请酌情给分！！