题目

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=1，BB₁=。连接BC₁，过B₁作B₁E⊥BC₁交CC₁于点E。
（1）求证：AC₁⊥平面B₁D₁E；
（2）求二面角E-B₁D₁-C₁的大小。

答案

（1）证明：连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面B₁BCC₁，
AC₁在平面B₁BCC₁内的射影是BC₁，
又B₁E⊥BC₁，
∴AC₁⊥B₁E，
已知AB=BC=1，
∴底面A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
又AC₁在平面A₁B₁C₁D₁内的射影是A₁C₁，
AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴AC₁⊥B₁D₁，B₁D₁∩B₁E=B₁，
∴AC₁⊥平面B₁D₁E。
（2）解：连接EO₁，
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
即EC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴EO₁在平面A₁B₁C₁D₁内的射影是C₁O₁，
又A₁C₁⊥B₁D₁，即C₁O₁⊥B₁D₁，
∴EO₁⊥B₁D₁，
∴∠EO₁C₁为二面角E-B₁D₁-C₁的平面角，
在长方形B₁BCC₁中，
BB₁=，BC=B₁C₁=1，B₁E⊥BC₁，
∠EB₁C₁=∠C₁BB₁，
∴直角△EB₁C₁∽直角△C₁BB₁，
∴，
即EC₁=，
在直角△EC₁O₁，EC₁=C₁O₁=，
∴∠EO₁C₁=45°。