题目
题型:不详难度:来源:
底面,P为BC边的中点,SB与
平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.
(1)求证:平面SAP;
(2)求二面角A-SD-P的大小.
答案
(2)二面角A-SD-P的大小为
解析
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………….……….1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1易求得,AP=PD=,……………………….2分
又因为AD=2,所以AD2=AP2+PD2,所以.………….…….3分
因为SA⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以SA⊥PD, …………….……………………….…....4分
由于SA∩AP=A 所以平面SAP.…………………………….5分
(2)设Q为AD的中点,连结PQ, ………………….………6分
由于SA⊥底面ABCD,且SA平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD….7分
因为PQ⊥AD,所以PQ⊥平面SAD
过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,
由三垂线定理可知PR⊥SD,
所以∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角. …9分
容易证明△DRQ∽△DAS,则
因为DQ= 1,SA=1,,所以….……….10分
在Rt△PRQ中,因为PQ=AB=1,所以………11分
所以二面角A-SD-P的大小为.……………….…….…….12分
或:过A在平面SAP内作,且垂足为H,在平面SAD内作,且垂足为E,连接HE,平面SAP。平面SPD…………7分
∴HE为AE在平面SPD内的射影,∴由三垂线定理得
从而是二面角A-SD-P的平面角……………………………….9分
在中,,在中,,
. ………………………………….11分
即二面角的大小为……………………………12分
解法二:因为底面,
所以,∠SBA是SB与平面ABCD所成的角…………………………………1分
由已知∠SBA=45°,所以AB=SA=1
建立空间直角坐标系(如图)
由已知,P为BC中点.
于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)
……..….2分
(1)易求得,
,..………….…....3分
因为,=0。
所以,
由于AP∩SP=P,所以平面SAP ………….……………..….…5分
(2)设平面SPD的法向量为
由,得 解得,
所以 ……………….…………….……….8分
又因为AB⊥平面SAD,所以是平面SAD的法向量,易得…9分
所以 ….………………….11分
所求二面角的大小为. ……………….……….…… 12分
核心考点
试题【如图,四棱锥的底面是矩形,底面,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.(1)求证:平面SAP;(2)求二面角A-SD-P的】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在直三棱柱中,AB=1,AC=2,,D,E分别是和的中点.
(Ⅰ)证明:DE∥平面ABC;
(Ⅱ)求直线DE与平面所成的角.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求二面角的大小.
已知四边形是边长为的正方形,分别为的中点,沿将向同侧折叠且与平面成直二面角,连接
(1)求证;
(2)求平面与平面所成锐角的余弦值。
如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE.
(I)求证:A1D⊥平面BDE;
(II)求二面角B―DE―C的大小;
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