题目
题型:不详难度:来源:
如图,在三棱锥P-ABC中,,,点 分别是AC、PC的中点,底面AB
(1)求证:平面;
(2)当时,求直线与平面所成的角的大小;
(3)当取何值时,在平面内的射影恰好为的重心?
答案
(2)
(3)
解析
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点,
,………………………………(2分)
(Ⅱ)
,
………..(5分)
又,
PA与平面PBC所成的角的大小等于,
………………(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,,∴F是O在平面PBC内的射影
∵D是PC的中点,
若点F是的重心,则B,F,D三点共线,
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,
,即…………………..(10分)
反之,当时,三棱锥为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为的重心…………………………..(12分)
方法二:
,,
以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系(如图)
设则,
设,则
(Ⅰ)D为PC的中点,
,
又 ,
(Ⅱ),即,
可求得平面PBC的法向量,
,
设PA与平面PBC所成的角为,则
,
(Ⅲ)的重心,
,
,
又,
,即,
反之,当时,三棱锥为正三棱锥,
∴O在平面PBC内的射影为的重心
核心考点
试题【(本小题满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,,,点 分别是AC、PC的中点,底面AB(1)求证:平面;(2)当时,求直线与平面所成的角的大小;(3)当取何值】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥面ABCD。
(1)证明:PF⊥FD;
(2)在PA上是否存在点G,使得EG//平面PFD。
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点C到面的距离.
②若,,则;③若,,则;④若,,则;⑤若与异面,则至多有一条直线与、都垂直.其中真命题是 .(把符合条件的序号都填上)
(1)证明:BD⊥AA1;
(2)证明:平面AB1C//平面DA1C1
(3)在直线CC1上是否存在点P,使BP//平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,说明理由.
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