题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）如图，已知三棱柱的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线长为,设这条最短路线与的交点为．

（1）求三棱柱的体积；
(2)在面内是否存在过的直线与面平行？证明你的判断；
（3）证明：平面⊥平面．

答案

平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行．

解析

解：(1)如图，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°，
使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点B运动到
点B₂的位置，连接A₁B₂，则A₁B₂就是由点B沿
棱柱侧面经过棱CC₁到点A₁的最短路线．
设棱柱的棱长为，则B₂C=AC=AA₁＝,
∵CD∥AA_1　，∴为的中点．                              ………2分
在Rt△A₁AB₂中，由勾股定理得，
即　，解得，∵，
∴．                                  ………5分
(2)设A₁B与AB₁的交点为O,连结BB₂,OD，则．
∵平面，平面，   ∴平面，
即在平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行．               ………9分
(3)连结AD,B₁D∵≌≌≌，
∴，  ∴．
∵ ，，  
∴平面A₁ABB₁，又∵平面A₁BD． 
∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁．                                 ………13分