题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

答案

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
（Ⅲ）二面角的大小是

解析

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．


，平面．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得．
在中，，，
则．
在中，．
所以二面角的大小是．
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得．
，．
于是，．
在中，．
所以二面角的大小是．