题目
题型:不详难度:来源:
如图,已知四棱锥,底面为菱形,平面,,分别是的中点.
(Ⅰ)判定AE与PD是否垂直,并说明理由
(Ⅱ)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值。
答案
因为为的中点,所以.又,因此.
因为平面,平面,所以.
而平面,平面且,
所以平面.又平面,所以.
(Ⅱ)解:设,为上任意一点,连接.
由(Ⅰ)知平面,则为与平面所成的角.
在中,,所以当最短时,最大,
即当时,最大.
此时,
因此.又,所以, 高#考#资#源#
所以.
解法一:因为平面,平面,
所以平面平面.过作于,则平面,
过作于,连接,则为二面角的平面角,
在中,,,
又是的中点,在中,,
又,在中,,
即所求二面角的余弦值为.
解法二:由(Ⅰ)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又分别为的中点,
∴,
,
所以.
设平面的一法向量为,则
因此取,则,
因为,,,
所以平面,故为平面的一法向量.
又,所以.
因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为.
解析
核心考点
试题【(本小题满分12分)如图,已知四棱锥,底面为菱形,平面,,分别是的中点.(Ⅰ)判定AE与PD是否垂直,并说明理由(Ⅱ)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
①若垂直于内的两条相交直线,则⊥;
②若∥,则平行于内的所有直线;
③若,且⊥,则⊥;
④若,,则⊥;
⑤若,且∥,则∥.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
如图所示,在三棱锥中,,且。
(1)证明:;
(2)求侧面与底面所成二面角的大小;
如图,为正三角形,平面,是的中点,
(1)求证:DM//面ABC;
(2)平面平面。
(3)求直线AD与面AEC所成角的正弦值;
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且,侧面PAD是正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD,点G为AD的中点.
(1)求证:BG面PAD;
(2)E是BC的中点,在PC上求一点F,使得PG面DEF.
已知三棱柱,底面三角形为正三角形,侧棱底面, ,为的中点,为中点.
(Ⅰ) 求证:直线平面;
(Ⅱ)求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.
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