题目

题型：不详难度：来源：

如图1，，，过动点A作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将△折起，使（如图2所示）．

（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
（2）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱、的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．

答案

（1）时, 三棱锥的体积最大．（2）

解析

试题分析：（1）解法1：在如图1所示的△中，设，则．
由，知，△为等腰直角三角形，所以.
由折起前知，折起后（如图2），，，且，
所以平面．又，所以．于是
    
，
当且仅当，即时，等号成立   
故当，即时, 三棱锥的体积最大．   
解法2：同解法1，得．  
令，由，且，解得．
当时，；当时，．
所以当时，取得最大值．
故当时, 三棱锥的体积最大.
（2）解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系D-.
由（Ⅰ）知，当三棱锥A-BCD的体积最大时，BD＝1,AD＝CD＝2.
于是可得D（0,0,0,），B（1,0,0），C（0,2,0），A（0,0,2）M（0,1,1）E（，1,0），且BM＝（-1，1,1）.    
设N（0,, 0），则EN＝,-1,0).因为EN⊥BM等价于EN·BM＝0,即（，-1,0）·（-1,1,1）＝+-1＝0，故＝，N（0, ，0） 
所以当DN＝时（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，EN⊥BM.
设平面BMN的一个法向量为n=(,,),由可取＝(1,2,-1） 
设与平面所成角的大小为，则由，，可得
，即．   
故与平面所成角的大小为     
解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，．
如图b，取的中点，连结，，，则∥.
由（Ⅰ）知平面，所以平面.
如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形，
所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥，
所以. 因为平面，又面，所以.
又，所以面. 又面，所以.
因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的.
即当（即是的靠近点的一个四等分点），．      
连接，，由计算得，
所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形，
如图d所示，取的中点，连接，，
则平面．在平面中，过点作于，
则平面．故是与平面所成的角．
在△中，易得，所以△是正三角形，
故，即与平面所成角的大小为 
点评：本题主要考查了线面垂直的判定，折叠问题中的不变量，空间线面角的计算方法，空间向量、空间直角坐标系的运用，有一定的运算量，属中档题