题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值。
答案
解析
同理,所以,因此
又因为是的中位线,所以.
(Ⅱ)解法1 因为 ,所以,又,
所以平面,平面,
为二面角的平面角,
不妨设由三角形知识可得
由余弦定理得
解法2分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,不妨设则
设平面的法向量为,则
,所以,令得
同理求得平面的一个法向量为,
因此
由图形可知二面角的余弦值为
解法二(Ⅰ)证明:因为分别是的中点,
所以∥,∥,所以∥,
又平面,平面,
所以∥平面,
又平面,平面平面,
所以∥,
又∥,
所以∥.
(Ⅱ)解法一:在△中, ,,
所以,即,因为平面,所以,
又,所以平面,由(Ⅰ)知∥,
所以平面,又平面,所以,同理可得,
所以为二面角的平面角,设,连接,
在△中,由勾股定理得,,
在△中,由勾股定理得,,
又为△的重心,所以
同理 ,
在△中,由余弦定理得,
即二面角的余弦值为.
解法二:在△中,,,
所以,又平面,所以两两垂直,
以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,,,所以,,,,
设平面的一个法向量为,
由,,
得
取,得.
设平面的一个法向量为
由,,
得
取,得.所以
因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.
【考点定位】本题考查了空间直线的位置关系的判定和二面角的求法,考查了空间想象能力、推理论证能力和运算能力。第一问主要涉及平面几何的图形性质,中点形成的平行线是常考点之一,论证较为简单。第二问有两种方法可以解决,因图形结构的简洁性,推理论证较为简单,而利用空间向量运算求解二面角就相对复杂了.
核心考点
试题【如图所示,在三棱锥中,平面,,分别是的中点,,与交于,与交于点,连接。(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的余弦值。】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求证:.
(1)求四棱锥的体积;
(2)求直线与平面所成角的大小.
A. B.与相交
C. D.与所成的角为
图1 图2
(1)求证:平面;
(2)求证: ;
(3)当多长时,平面与平面所成的锐二面角为?
(Ⅰ)求证:AC⊥A1B;
(Ⅱ)设D是BB1的中点,求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.
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