题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,设线段的中点为,连结,试问当为何值时,直线过椭圆的顶点?
(Ⅲ) 过坐标原点的直线交椭圆:于、两点,其中在第一象限,过作轴的垂线,垂足为,连结并延长交椭圆于,求证:
答案
所以,故…………2分
在中,
即,又,解得
所求椭圆的方程为.………………………4分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得椭圆:
设直线的方程为并代入
整理得:
由得: ……………………5分
设
则由中点坐标公式得:…………………6分
①当时,有,直线显然过椭圆的两个顶点;………7分
②当时,则,直线的方程为
此时直线显然不能过椭圆的两个顶点;
若直线过椭圆的顶点,则即
所以,解得:(舍去)………………………8分
若直线过椭圆的顶点,则即
所以,解得:(舍去) ……………9分
综上,当或或时, 直线过椭圆的顶点…………10分
(Ⅲ)法一:由(Ⅰ)得椭圆的方程为……………………………11分
根据题意可设,则
则直线的方程为…①
过点且与垂直的直线方程为…②
①②并整理得:
又在椭圆上,所以所以
即①、②两直线的交点在椭圆上,所以.…………14分
法二:由(Ⅰ)得椭圆的方程为
根据题意可设,则,,
所以直线
,化简得
所以
因为,所以,则……………12分
所以,则,即
解析
核心考点
试题【已知椭圆:的左焦点,若椭圆上存在一点,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭圆于两点】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点分别作直线,交椭圆于,两点,设两直线的斜率分别为,,且,证明:直线过定点().
A.一条线段 | B.椭圆的一部分 |
C.双曲线的一部分 | D.抛物线的一部分 |
(1)求直线l斜率的取值范围;
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?
椭圆相交于、,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动圆与椭圆和直线都没有公共点,试求的取值范围.
已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0).动点P满足:.
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;
(2)当时,求的最大、最小值.
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