已知△ABC的三边长都是有理数．
（1）求证cosA是有理数；
（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数． |
（1）证明：设三边长分别为a，b，c，cosA=，
∵a，b，c是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴必为有理数，
∴cosA是有理数．
（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；
当n=2时，∵cos2A=2cos2A-1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；
②假设当n≤k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k-1）A均是有理数．
当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA，cos(k+1)A=coskAcosA-[cos(kA-A)-cos(kA+A)]，cos(k+1)A=coskAcosA-cos(k-1)A+cos(k+1)A，
解得：cos（k+1）A=2coskAcosA-cos（k-1）A
∵cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数，∴2coskAcosA-cos（k-1）A是有理数，
∴cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数．
即当n=k+1时，结论成立．
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数． |
核心考点
试题【已知△ABC的三边长都是有理数．（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．】；主要考察你对
余弦定理等知识点的理解。
[详细]举一反三
| △ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量=(a+c，b)，=(b-a，c-a)，若∥，则角C的大小为（ ） |
在△ABC中，•=||=2．
（1）求2+2的值；
（2）求△ABC面积的最大值． |
| 在△ABC中，已知a、b、c成等比数列，且a+c=3，cosB=，，则•=（ ） |
设a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C所对的边，则a2=b（b+c）是A=2B的（ ）| A．充要条件 | B．充分而不必要条件 | | C．必要而不充分条件 | D．既不充分也不必要条件 |
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| 设△ABC的三边BC=4pq，CA=3p2+q2，AB=3p2+2pq-q2，求∠B，并证∠B为∠A及∠C的等差中项． |
