题目

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，∠A=120°
（Ⅰ）若三边长构成公差为4的等差数列，求△ABC的面积；
（Ⅱ）已知AD是△ABC的中线，若

AB

•

AC

=-2，求|

AD

|的最小值．

答案

（Ⅰ）由题意，设三边为a，a-4，a-8（a＞8），--------------（1分）
∵∠A=120°，
∴由余弦定理：a²=（a-4）²+（a-8）²-2（a-4）（a-8）cos120°---------------（2分）
即a²-18a+56=0------------------------（3分）
∴a=14或a=4（舍去）--------------------------------（4分）
∴三边为14，10，6
∴△ABC的面积为

1

2

×AB×AC×sinA=

1

2

×10×6×

3

2

=15

3

-----------------（6分）
（Ⅱ）∵

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cosA=-2，∠A=120°，----------------------（7分）
∴|

AB

||

AC

|=4----------------------------------（8分）
∵

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，
∴|

AD

|2=

1

4

(|

AB

|2+|

AC

|2+2

AB

•

AC

)=

1

4

(|

AB

|2+|

AC

|2-4)
≥

1

4

(2|

AB

||

AC

|-4)=1---------------（10分）
∴|

AD

|min=1----------------------------------（12分）